《剑指offer》刷题笔记（时间空间效率的平衡）：数组中的逆序对

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题目描述

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

输入描述

题目保证输入的数组中没有的相同的数字
数据范围：
对于%50的数据,size<=10^4
对于%75的数据,size<=10^5
对于%100的数据,size<=2*10^5

示例

输入

1
1,2,3,4,5,6,7,0

输出

1
7

解题思路

看到这个题目，首先想到的可能是顺序遍历整个数组。每扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。
我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿它和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

  • 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组；
  • 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组；
  • 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ；
  • 把长度为2的子数组合并、排序，并统计逆序对；



在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组 排序 如上图（c）所示， 以免在以后的统计过程中再重复统计。

接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。



我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保 辅助数组（记为copy） 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。

过程：先把数组分割成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。

C++版代码实现

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class Solution {
public:
    int InversePairs(vector<int> data) {
        if(data.size() == 0)
            return 0;
        vector<int> copy;
        for(int i=0; i < data.size(); ++i)
            copy.push_back(data[i]);
        return InversePairsCore(copy, data, 0, data.size() - 1)%1000000007;
    }
    long InversePairsCore(vector<int> &data, vector<int> &copy, int begin, int end){
        if(begin == end){
            copy[begin] = data[end];
            return 0;
        }
        
        int length = (end-begin)/2;
        long left = InversePairsCore(copy, data, begin, begin + length);
        long right = InversePairsCore(copy, data, begin + length + 1, end);
        
        int i = begin + length;
        int j = end;
        int indexcopy = end;
        long count = 0;
        
        while(i >= begin && j >= begin+length+1){
            if(data[i] > data[j]){
                copy[indexcopy--] = data[i--];
                count = count + j - begin - length;
            }
            else
                copy[indexcopy--] = data[j--];
        }
        for(;i>= begin; --i)
            copy[indexcopy--] = data[i];
        for(;j>=begin+length+1; --j)
            copy[indexcopy--] = data[j];
        return left + right + count;
    }
};

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完的汪(∪｡∪)｡｡｡zzz

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